二阶线性微分方程（二阶线性微分方程是什么）

小伙伴们，你们好，若是你对二阶线性微分方程，与二阶线性微分方程是什么不是很了解，今天小编给大家科普一下具体的知识。希望可以帮助到有需要的朋友，下面就来解答关于二阶线性微分方程的问题，下面我们就来开始吧！

文章目录

• 1、二阶线性微分方程是什么
• 2、二阶线性微分方程有哪些通解形式呢
• 3、二阶常系数线性微分方程
• 4、二阶线性偏微分方程

二阶线性微分方程是什么

二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次方程。

前者主要采用特征方程求解，也比较简单，记忆三个公式即可。后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解，这里也就是非齐次方程的特解不好求。齐次和非齐次的微分方程的通解都包含一切的解。

微分方程数学描述：

许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式。在生物学及经济学中，微分方程用来作为复杂系统的数学模型。微分方程的数学理论最早是和方程对应的科学领域一起出现，而微分方程的解就可以用在该领域中。不过有时二个截然不同的科学领域会形成相同的微分方程，此时微分方程对应的数学理论可以看到不同现象后面一致的原则。

二阶线性微分方程有哪些通解形式呢

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx

特解 y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx

特解 y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n

特解 y=ax

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程：

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；

若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。

二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用 。比较常用的求解方法是待定系数法 、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

1、二阶常系数线性微分方程 标准形式： y″+py′+qy=f(x)

当 f(x)=0，即 y″+py′+qy=0为二阶常系数齐次线性微分方程

当 f(x)≠0，即 y″+py′+qy=f(x)为二阶常系数非齐次线性微分方程

2、特征方程：一元二次方程 r2+pr+q=0

微分方程： y″+py′+qy=0

特征方程： r2+pr+q=0 特征根： r1,2=−b±b2−4ac2a

3、二阶常系数齐次线性微分方程求解方法 y″+py′+qy=0

二阶线性偏微分方程

二阶线性偏微分方程为：F（x，y，y'，y''）=0。其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y的一阶导数，y''是y的二阶导数。对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程。

“二阶线性偏微分”是指未知量是偏微分，偏微分的最高阶是二阶，且未知量之间的关系是线性关系。

偏微分是多元函数的微分。

不定积分一般是一元函数的，无积分限的积分。

定积分是有积分限的，其实就是再不定积分的基础上加上积分限。

积分和微分是互逆的运算。

偏微分

用于数学、物理领域的方程

包含未知函数的偏导数(或偏微分)的方程。

方程中所出现未知函数偏导数的最高阶数，称为该方程的阶。

在数学、物理及工程技术中应用最广泛的，是二阶偏微分方程，习惯上把这些方程称为数学物理方程。

偏微分方程是一个很大很广的概念，即使是二阶，也有无数种类，大体分为二阶线性偏微分方程和二阶非线性偏微分方程，而每一种也可继续细分为常系数、非常系数等等。

但是，即使是最简单的双变量二阶线性常系数偏微分方程，也往往难以得到解析解，这是因为方程的解除了取决于方程本身的复杂度外，还要考虑到边界条件的复杂性。