线性代数特征值（特征值的性质是什么）

特征值的性质是指矩阵A的行列式的值为所有特征值的积，矩阵A的对角线元素和称为A的迹等于特征值的和。 特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方...，以下是对"线性代数特征值"的详细解答!

文章目录

• 1、特征值的性质是什么
• 2、什么是线性代数中的特征值
• 3、线性代数求特征值和特征向量

特征值的性质是什么

特征值的性质是指矩阵A的行列式的值为所有特征值的积，矩阵A的对角线元素和称为A的迹等于特征值的和。

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

判断相似矩阵的必要条件：

设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵。

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|。

3、A的迹等于B的迹——trA=trB/，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）。

4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|。

5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。

因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。

什么是线性代数中的特征值

如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ＝0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

比如如果Pn（x）＝a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）＝x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）＝x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ＝0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ＝0，即y*=x^2*Qm(x)。

概念

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交。

由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性代数求特征值和特征向量

线性代数求特征值和特征向量的方法：

步骤：

1、写出|λΕ-Α|式子的具体形式 ->进行行列式化简，写成因式的形式 ->令式子等于0 ->得到特征值。

2、将特征值代入(λΕ-Α)X=0，写出X前面的矩阵。

3、对矩阵进行归一性、排他性检验

4、找到“台阶”上的作为受约束向量、剩下的即为自由向量。

5、写出该特征值对应的特征向量。

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

1、计算的特征多项式；

2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量。

1、一些容易理解的概念

这里会列举一些图形学中的常用概念，其中很多是游戏开发中最基础不过的常识，所以适当缩短了其篇幅，其中一些表述有所省略，所以可能并不严谨，如果大家有疑问可以自行查询

2、直角坐标系

（1）图形学中最常用的坐标系，以下讨论全基于直角坐标系

（2）有二维三维之分，三维坐标系又有左手坐标系和右手坐标系

3、向量

（1）有序实数组，用以表示在不同坐标轴上的投影长度

（2）有行和列两种表达方式，在图形学中常以列表达

（3）代表了一个有方向的长度