二阶常系数线性微分方程（什么是二阶常系数线性微分方程）

各位朋友们好，要是你对二阶常系数线性微分方程，和什么是二阶常系数线性微分方程不是很清楚，今天小编给大家解答一下你们心中的疑问。希望可以帮助到各位，下面就来解答关于二阶常系数线性微分方程的问题，下面我们就来开始吧！

文章目录

• 1、什么是二阶常系数线性微分方程
• 2、二阶常系数线性微分方程怎么解
• 3、二阶常系数齐次线性微分方程
• 4、二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是什么

什么是二阶常系数线性微分方程

二阶非齐次线性微分方程的通解如下：

y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+C1(y2-y1)+C2(y3-y1)。

方程通解为：y=1+C1(x-1)+C2(x^2-1)。

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。

二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

二阶常系数线性微分方程怎么解

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx

特解 y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx

特解 y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n

特解 y=ax

通解

1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)

3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为：

y"+py’+qy=0（1-1），其中p，q为常数。以r^k代替上式中的y（k）(k=0,1,2)，得一代数方程r²+pr+q=0。

二阶常系数线性齐次微分方程，指含有未知函数最高阶导数或微分为二阶，且系数为常数的齐次方程。二阶常系数线性齐次微分方程是二阶常系数线性非齐次微分方程解的基础。

二阶常系数方程特解：

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx，特解 y=C(x)e^mx。

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx，特解 y=msinx+nsinx。

3、Ay''+By'+Cy= mx+n，特解 y=ax。

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是什么

二阶齐次微分方程的通解是：y=e^(αx)(C1cos(βx)+C2*sin(βx))。二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为：y"+py’+qy=0 ，其中p，q为常数。以r^k代替上式中的y（k）(k=0,1,2) ，得一代数方程：r²+pr+q=0，这方程称为微分方程的特征方程，按特征根的情况，可直接写出方程的通解。

特征方程的几种情况：

（1）特征方程有两个不相等的实数根，r1≠r2,则1-1的通解为：y=C1e(r1x)+C2*e(r2x)。

（2）特征方程有两个相等的实数根，r1=r2=r，方程1-1的通解为：y=(C1+C2x)e^(rx)。

（3）特征方程有一对共轭复根，通解为：y=e^(αx）（C1cos(βx)+C2*sin(βx))。