常系数齐次线性微分方程

各位伙伴们好，假如你对常系数齐次线性微分方程不是很了解，今天小编给大家解答一下你们心中的疑问。希望可以帮助到各位，下面就来解答关于常系数齐次线性微分方程的问题，下面我们就来开始吧！

文章目录

• 1、常系数齐次线性微分方程的解是什么
• 2、二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是什么
• 3、二阶常系数线性齐次微分方程有哪些解法
• 4、请问四阶常系数齐次线性微分方程怎么解

常系数齐次线性微分方程的解是什么

常系数齐次线性微分方程的解法如下：

二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为： y"+py’+qy=0 （1-1） 其中p，q为常数。 以r^k代替上式中的y（k）(k=0，1，2) ，得一代数方程 r²+pr+q=0 这方程称为微分方程（1-1）的特征方程 按特征根的情况，可直接写出方程1-1的通解。

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。

若微分方程中没有出现自变数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现应变数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。

齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。

若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程，因此简化求解的过程。

针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。

有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、***性及初始值非线性微分方程的适定性问题，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。

例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中，其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性，都是探讨纳维－斯托克斯方程式其解的数学性质，截至2018年8月此问题仍尚未被证明。

二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是什么

二阶齐次微分方程的通解是：y=e^(αx)(C1cos(βx)+C2*sin(βx))。二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为：y"+py’+qy=0 ，其中p，q为常数。以r^k代替上式中的y（k）(k=0,1,2) ，得一代数方程：r²+pr+q=0，这方程称为微分方程的特征方程，按特征根的情况，可直接写出方程的通解。

特征方程的几种情况：

（1）特征方程有两个不相等的实数根，r1≠r2,则1-1的通解为：y=C1e(r1x)+C2*e(r2x)。

（2）特征方程有两个相等的实数根，r1=r2=r，方程1-1的通解为：y=(C1+C2x)e^(rx)。

（3）特征方程有一对共轭复根，通解为：y=e^(αx）（C1cos(βx)+C2*sin(βx))。

二阶常系数线性齐次微分方程有哪些解法

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx

特解 y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx

特解 y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n

特解 y=ax

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

请问四阶常系数齐次线性微分方程怎么解

四阶常系数齐次线性微分方程：y^(4)-2y^(3)+5y^(2)-8y^(1)+4y=0

通解：(C1+C2t)e^t+C3cos2t+C4sin2t=0

解题思路：特征根的表得知

由te^t知两个一样的解

知(C1+C2t)e^t

另外一个知C3cos2t+C4sin2t

知(r-1)^2(r^2+4)

所以，该四阶常系数齐次线性微分方程为y^(4)-2y^(3)+5y^(2)-8y^(1)+4y=0

通解是：(C1+C2t)e^t+C3cos2t+C4sin2t=0