常系数非齐次线性微分方程是什么（和线性非齐次微分方程有什么区别）

各位伙伴们好，如果你对常系数非齐次线性微分方程不是很了解，今天小编给大家科普一下具体的知识。希望可以帮助到有需要的朋友，下面就来解答关于常系数非齐次线性微分方程的问题，下面我们就来开始吧！

文章目录

• 1、什么是常系数线性非齐次微分方程
• 2、二阶常系数非齐次线性微分方程是什么
• 3、二阶常系数非齐次线性微分方程有哪些
• 4、线性非齐次微分方程跟常系数非齐次微分方程有什么区别

什么是常系数线性非齐次微分方程

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y'+R(x)y=S(x)

（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）

无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。

例如y'y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y'-y)=0，即y=0或者y'-y=0，因为y和y'都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。

再如(sinx)y'-y=0，因为y'和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y'的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。

再如y'y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y'和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。

再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

二阶常系数非齐次线性微分方程是什么

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y*设法分为：

1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。

如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。

若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ=0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。

比如如果Pn（x）=a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）=x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）=x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。

若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ=0，即y*=x*Qm(x)。

若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ=0，即y*=x^2*Qm(x)。

二阶常系数非齐次线性微分方程有哪些

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y''+py'+qy=f(x)，其特解y设法分为：

1、如果f(x)=P(x） ，Pn (x）为n阶多项式。

2、如果f(x)=P(x) e'a x，Pn (x）为n阶多项式。

二阶常系数非齐次线性微分方程常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx

特解    y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx

特解    y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n

特解    y=ax

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数，自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的，特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

线性非齐次微分方程跟常系数非齐次微分方程有什么区别

您好，线性非齐次微分方程是指方程关于未知函数以及未知函数的所有各阶导数不是齐次的，；而常系数非齐次微分方程是指如果在一组方程中，未知的量是一组函数，而且这组方程中含有未知函数的导数，依赖于一个或一个以上的自变量，称为微分方程（包含常微分方程和偏微分方程），祝学习愉快