调和级数为什么发散（为什么调和级数是发散的 我想不通,）

调和级数是指形如 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 的无穷级数，虽然初看起来非常接近于收敛，但事实上却是一个发散的级数。本文将从几个角度详细解释调和级数的发散性质。

1、定义与基本性质

调和级数是最简单的一种无穷级数，它的前 $n$ 项和可以表示成 $H_n = \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ 的形式，其中 $H_n$ 称为第 $n$ 个调和数。而对于其是否收敛，则有以下结论：

（1） 调和级数发散。

（2） $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}H_n - \ln{n} = \gamma$，其中 $\gamma$ 是欧拉常数，约等于 0.5772。

（3） 在任意正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $n > m$ 的情况下，$\sum\limits_{k=m+1}^n \frac{1}{k} > \ln\frac{n}{m}$。

2、比较判别法

通过比较判别法，我们可以证明调和级数的发散性。实际上，对于所有正整数 $n$，都有 $\frac{1}{n} > \frac{1}{2n}$，因此：

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

两边同时乘以 2，可得

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}> \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}= \infty$$

由此可见，调和级数是发散的。

3、积分判别法

类似地，我们也可以使用积分判别法来证明调和级数的发散性。定义函数 $f(x)=\frac{1}{x}$，则该函数在区间 $(0,+\infty)$ 上连续且单调递减，根据定积分的定义，其面积为：

$$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty}\ln t = +\infty$$

因此，无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 的收敛与否与不定积分 $\int \frac{1}{x}dx$ 的收敛与否等价。显然，不定积分 $\int\frac{1}{x}dx=\ln x$ 发散。

4、调和级数的应用

虽然调和级数本身发散，但是它在一些问题中仍有重要应用。例如，在计算算法复杂度时，若某个程序的时间复杂度为 $O(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i})$，则可以直接使用调和级数来描述该程序算法的时间复杂度。此外，在统计物理学中，调和级数也经常被用作研究系统粒子数目的极限性质。

5、结论与启示

通过对调和级数的讨论，我们可以发现一个很有趣的事实：尽管单项趋于零并不能保证无穷级数的收敛性，但是如果某个无穷级数发散，则其所有单项必然趋于零。

同时，调和级数的发散性也给我们带来了另一个启示：在处理数列或者无穷级数时，只有当能够找到收敛判别法才能断言其收敛性，否则得出的结论可能是错误的。而对于某些看起来很接近于收敛的级数，则需要更加严格的证明方法来确定其发散性。

总结：调和级数在定义简单、应用广泛的同时，也因其发散而备受瞩目。阐述了比较判别法和积分判别法两种证明方法，并探讨了调和级数的一些重要性质和应用。通过这个例子，我们可以深入理解数列与级数中的某些基本概念和思想，并学会运用不同的证明方法进行分析推导。